Fiche Philo: Mathématique VS Logique

Les mathématiques sont nées probablement en Mésopotamie. La logique est née certainement en Grèce. Platon se voulait mathématicien. Aristote s’est voulu logicien. Les deux disciplines partagent certes des points communs, à commencer par la fascination qu’elles exercent depuis toujours sur les philosophes. Elles construisent toutes deux des raisonnements, utilisent des symboles, proposent des démonstrations et même des théorèmes. On comprend donc facilement que les protagonistes d’une discussion animée évoquent indifféremment une discipline ou l’autre. Pourtant beaucoup de choses les distinguent, à commencer par l’usage des nombres. La mathématique n’est en effet pas possible sans l’utilisation de chiffres. En logique, en revanche, on ne manipule pas de chiffres et on ne calcule donc pas. C’est une différence fondamentale. Pour distinguer davantage encore, rappelons les grandes étapes qui ont jalonné l’histoire de ces deux disciplines millénaires et de leurs relations mouvementées.

L’histoire des mathématiques fait apparaître quatre grandes étapes. Dans un premier temps les mathématiques se limitent à l’étude des nombres. Certains sont devenus particulièrement célèbres, comme pi ou le nombre d’or. A partir du Ve siècle av. J.-C., nous entrons dans une autre époque, celle de la géométrie. Ce n’est plus tant le nombre, mais la mesure qui est l’objet de toutes les préoccupations. Et on peut imaginer le choc des mathématiciens grecs qui réalisèrent alors que certaines longueurs ne pouvaient pas être mesurées par un nombre… Il faudra attendre Leibniz et Newton pour vivre le troisième moment de cette longue histoire. Quasi simultanément – on ne saura jamais si ce fut par hasard – l’Anglais et l’Allemand décideront de mathématiser le mouvement . C’est l’apogée de l’algèbre, et voilà l’homme capable de calculer ce qui bouge.

Cette séquence de trois étapes puissantes n’est pourtant qu’un prélude. C’est déjà extraordinaire, mais le plus fort est encore à venir. Car après les nombres, les formes et le changement, le champ d’application des mathématiques s’est étendu à l’ensemble des structures. Blaise Pascal s’attaque par exemple aux structures du hasard. Euler veut comprendre les structures des réseaux, Shannon celles de l’information, von Neumann celles des jeux et Mandelbrot celles du… chaos !

S’il fallait par ailleurs écrire l’histoire de la logique en trois lignes, cela donnerait à peu près ceci : Il y a une logique ancienne initiée par les Grecs et une logique moderne étudiée aujourd’hui par des milliers de chercheurs dans le monde entier. Entre les deux, il y a Leibniz . Le philosophe encyclopédique allemand fut à lui seul le point de passage entre deux conceptions de la logique. Leibniz avait un rêve : assurer l’infaillibilité du raisonnement. Grand admirateur d’Aristote et de ses syllogismes, il l’était tout autant des inventeurs du calcul algébrique importé des Arabes au Moyen-Age chez qui il décelait également un superbe exemple de raisonnement correct et formel. N’y aurait-il pas alors une théorie d’un niveau supérieur, un système universel de pensée dont la logique, d’une part, et la mathématique, d’autre part, ne seraient que des cas particuliers ? Il est là, le rêve de Leibniz : mathématiser la pensée. Faire d’un raisonnement un théorème, faire d’une discussion un système d’équations et pouvoir proposer à son contradicteur en cas d’impasse : Eh bien calculons !

Très vite, le rêve de Leibniz s’est traduit en deux grands projets. Il met en chantier une langue nouvelle dite “ caractéristique universelle” , qu’il veut libérer de toute ambiguïté pour en faire un instrument sûr de la raison. Il la veut écrite, bien entendu, et non plus orale. Il la veut idéographique, évidemment, et non plus phonétique. Idéographique signifie qu’à chaque signe correspond une idée, un peu comme en chinois. Pour être efficace, le langage leibnizien veut parler aux yeux et pas aux oreilles. Les idées simples y correspondent à des nombres premiers dont la combinaison univoque peut amener sans ambiguïté aux idées complexes.

Leibniz ouvrit un deuxième grand chantier : celui du calcul pour le raisonnement. Il était particulièrement motivé pour mathématiser la logique, et avait inventé par ailleurs une machine à calculer révolutionnaire, en forme de moulinette. Le philosophe allemand était convaincu qu’une écriture symbolique parfaitement réglée, d’une part, et que des règles de calcul inspirées de l’algèbre, d’autre part, ne pouvaient que conduire à un monde où plus personne ne se tromperait… Dans un mémoire présenté à l’Académie des sciences de Paris en 1703, il exprima sa conviction qu’une arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, pourrait être très utile. Tout en reconnaissant que cela ne serait pas très pratique, le génie allemand écrivit néanmoins : “Le calcul par deux, c’est-à-dire par 0 et par 1, en récompense de sa longueur, est le plus fondamental pour la science.” En extraordinaire visionnaire, deux cent cinquante ans avant la construction des premiers ordinateurs, Leibniz imaginait déjà ce qu’ils rendraient possible.

Le rêve de mathématiser la logique ne s’est jamais réalisé et on le sait aujourd’hui avec certitude, le pensable et le calculable ne seront jamais confondus. (Ce qui est une bonne nouvelle, non ?)

C’est le moment d’introduire une troisième discipline – l’argumentation – pour rappeler la limite principale de la logique qui ne traite en fait que de la structure du raisonnement. La logique évacue la problématique. Elle considère les prémisses comme acquises (car dites indémontrables) et exclut le débat. Elle verrouille ce que l’argumentation ouvre. La logique est toute en certitudes et se cantonne dans la forme ; l’argumentation, elle, est tout en probabilité et se rapproche beaucoup plus de la vie réelle. La première traite du vrai, la deuxième du vraisemblable. A la différence de son cousin logique, le syllogisme argumentatif laisse la discussion ouverte et tolère les interrogations, le doute.

Logique et argumentation sont fort différentes, parce que leurs objectifs le sont. Chez les pragmatiques, par exemple, l’argumentation poursuit l’efficacité du message en vue d’un passage à l’action. Tandis que la logique ambitionne la validité des raisonnements qui garantirait ainsi la vérité. L’écart entre les deux apparaît plus encore si l’on porte attention au public visé. Un logicien peut très bien travailler sans avoir personne en face de lui ; la qualité de son travail s’apprécie de manière interne. Par contre, celui qui argumente connaît celui ou ceux qu’il doit convaincre, et ce qu’il fait ne peut être jugé que dans le cadre de cette relation à l’autre.

Voilà, ce qu’il fallait (dé)montrer !

POUR ALLER PLUS LOIN Gilles Dowek, “La Logique”, Paris, Flammarion, coll. “ Dominos ”, 1995. Luc de Brabandere, “Petite philosophie des mathématiques vagabondes”, Eyrolles, 2011 www.lecochonlogique.com Un site d’énigmes. http://www.mathematiquesfaciles.com/ Des cours de maths, pour tous.